システム開発で避けるべき計算誤差たち

数値計算

この記事を書いたチーム：frontier

計算誤差とは
丸め誤差
桁落ち
情報落ち
打切り誤差

計算誤差とは

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計算機による数値計算の結果が、理論的な値と異なることを計算誤差といいます。システム開発において計算結果が予想と異なるケースがたまにありますが、小数点を含む計算や厳密さの問われる金額の計算などで発生しないよう、実装者は常に気を付ける必要があります。本記事では、よくある誤差とその原因について解説します。

丸め誤差

計算機は、実数を浮動小数点として計算しています。浮動小数点とは、実数を2進数(ないしは16進数)で表現した数字です。計算機では、数字の表現に使用できるメモリが有限のため、正確に浮動小数点に表現することができません。このように発生する誤差を丸め誤差と呼びます。計算機が区別できる、1より大きい最小の値と1との差をマシンイプシロンと呼び、マシンイプシロンが小さいと丸め誤差が小さくなります。

桁落ち

上位桁が同じ2つの数の差を計算するとき、有効桁が小さくなることを桁落ちといいます。例として2次方程式の解について考えてみましょう。解の公式はで表されます。このとき、|b|が|a|、|c|に比べて非常に大きい場合は、となり分子を計算するときに、有効桁数が小さくなってしまいます。
このことを避けるには、桁落ちが発生しないような解の求め方を探す必要があります。今回の場合では、解と係数の関係式を利用する方法や、解の公式を有理化するなどで対応することができます。

情報落ち

絶対値が大きく異なる2数の和をとると、小さいほうの値の影響が消えることがありますが、これを情報落ちといいます。マシンイプシロン未満の数字が計算時に反映されなくなるため、こちらも実装時に気を付ける必要があります。2数の和の場合は対応が難しいですが、絶対値が大きく異なる複数個の値の和を計算するときは、小さいほうの値から順に足していくとうまくいくことがあります。